La circunferencia: Elementos - Gráfica - Ecuaciones.

               Ecuaciones de la circunferencia

Circunferencia

Una circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a C es r.

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda determinada cuando  conocemos:  Tres puntos de la misma.  El centro y el radio.  Un punto y el centro  El centro y una recta tangente.

Ecuación de la circunferencia

Ejemplos

Circunferencias tangentes conocido el punto de tangencia

 Algunas propiedades de las tangencias

- La unión del centro con el punto de tangencia da una recta en la que esta el otro centro
- La unión de los dos centro da el punto de tangencia sobre la circunferencia
- Una perpendicular a una recta por el centro de la circunferencia da el punto de tangencia
- La distancia entre los centros de dos circunferencias tangentes es la suma o diferencia de los radios

 Lugares geométricos

El lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias tangentes a una recta r dada en un punto P de la misma es la recta perpendicular a r que pasa por el punto P.



El lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias tangentes a una circunferencia C dada en un punto P de la misma es la recta CP que une el centro de la circunferencia dada con el punto de tangencia. Los puntos de la recta CP situados en el exterior de la circunferencia C y a mayor distancia de C que de P corresponden a los centros de las circunferencias tangentes exteriores a C, mientras que los puntos de la recta CP situados en el interior de C o en su exterior pero a mayor distancia de P que de C corresponden a los centros de las circunferencias tangentes interiores a C.

 Circunferencia tangente a una recta o una circunferencia en un punto dado de la misma y que pasa por otro punto dado

Sea una recta r o una circunferencia C y sea T un punto perteneciente a la misma. Sea s la recta lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias tangentes a r o C en el punto T, conforme a lo especificado en el párrafo anterior.
Se desean trazar las circunferencias tangentes a r o C en el punto T y que pasan por otro punto P. El centro de la circunferencia solución debe estar sobre la recta s y además debe estar a la misma distancia de T que de P. Por lo tanto, el centro de la circunferencia solución estará en la intersección de la recta s con la mediatriz del segmento PT.

 Circunferencia tangente a una recta o una circunferencia en un punto dado de la misma y tangente además a una recta dada

Se conoce el punto T, que pertenece a una recta r o a una circunferencia C dada. Se quiere trazar la circunferencia que siendo tangente a r o C en el punto T es asimismo tangente a otra recta t dada. Nótese que si una circunferencia ha de ser tangente a otra circunferencia C en el punto T de la misma, también será tangente a la recta perpendicular a CT que pasa por el punto T. Si denotamos por r' a esta recta perpendicular, se tiene que los dos problemas planteados en este apartado son el mismo: trazar la circunferencia tangente a la recta r (o r' en el caso de que el dato sea una circunferencia) en el punto T de la misma, y que es además tangentes a otra recta t dada.
El centro de la circunferencia solución buscada tendrá que estar a la misma distancia de la recta r (o r') que de la recta t (por ser tangente a ambas), es decir, debe estar en la bisectriz del ángulo formado por las rectas r (o r') y t. Por otra parte, el centro de la circunferencia solución debe estar también sobre la recta s, perpendicular a r (o r') en el punto T, tal y como se justificó en el apartado Lugares geométricos.
El centro de la circunferencia buscada, solución de el problema, será la intersección de la recta perpendicular a r (o r') en el punto T con la bisectriz del ángulo formado por las rectas r y t.