Elipses

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario

Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal

Es el segmento

de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices

Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor

Es el segmento

de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor

Es el segmento

de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría

Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría

Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría

Relación entre la distancia focal y los semiejes

Excentricidad de la elipse

La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

Ecuaciones de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x₀,y₀) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X₀+c, y₀) y F'(X₀-c, y₀). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo
Ejemplos
Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

Ecuación de eje vertical de la elipse
Si el centro de la elipse C(x₀,y₀) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X₀, y+c) y F'(X₀, y₀-c). Y la ecuación de la elipse será: